شكل2-3 در حوالی نقاط و تابع انرژی دو مخروط .........................................................................26 شكل2-4 كانتور منحنی های انرژی ثابت در قسمتی از شبكه وارون..........................................................28 شکل 2-5 كانتور منحنی های انرژی ثابت در نیمه ای از.............................................................................28 شکل2-6 برخورد الکترون با سد پتانسیل...................................................................................................31 شکل 3-1 مکانیسم اثر کلاسیک هال با اعمال میدان مغناطیسی Bz.............................................................37 شکل3-2 نمایش شماتیک مقاومت هال کلاسیکی بر حسب میدان مغناطیسی...........................................38 شکل3-3 نمایش شماتیک مقاومت هال کوانتومی بر حسب میدان مغناطیسی.............................................39 شکل 4-1 نمایشی از مقاومت هال و مقاومت الکتریکی..............................................................................41 شکل 4-2 ایجاد گاز الکترونی دو بعدی به صورت لایه معکوس ...............................................................43 شکل 4-3 اعمال میدان الکتریکی و مغناطیسی بر گاز الکترون دو...............................................................43 شکل 4-4 توزیع انرژی ترازهای لاندائو در طرفین سطح فرمی...................................................................44 شکل 4-5 سمت چپ : نمایش شماتیک مقاومت هال بر حسب میدان مغناطیسی......................................45 شکل4-6 مکانیک کلاسیک و حرکت سیکلوترونی.....................................................................................47 شکل 4-7 نمایش شماتیک آزمایش هال.....................................................................................................49 شکل 4-8 سمت راست: تصویر کلاسیکی ویژه حالتهای مختلف................................................................57 شکل4-9 ترازهای انرژی گسسته لاندائو......................................................................................................66 شکل4-10 سمت چپ: اثر هال کوانتومی در سیستم الکترونی....................................................................70 فهرست نمودارها نمودار1-5 نمودار گاف انرژی وجرم مؤثرالکترون برحسب پهنای نانو نوار گرافنی....................................11 نمودار 2-1 منحنی چگالی حالات کل مربوط به الکترونهای با اسپین بالا و پایین.............................................32 نمودار2-2 منحنی چگالی حالات مربوط به.....................................................................................................32 نمودار5-1 و را در یک گرافن تحرک بالای نوعی ...................................................................78 نمودار5-2 تغییرات رسانش هال برحسب ولتاژدریچه برای میدان مغناطیسی قوی B>20.........................79 نمودار5-3 تغییرات مقاومت هال برحسب ولتاژ ورودی در میدان مغناطیسی ضعیف9T...........................80 نمودار5-4 به دست آمده تجربی را در B=25T به عنوان تابعی از نشان میدهد...........................81 نمودار5-5 مقاومت مغناطیسی و مقاومت هال به صورت تابعی ................................................................82 چکيده دراین پایان نامه ابتدا خواص عمومی گرافن را از قبیل نوع پیوندها، رسانش الکتریکی ، خواص مغناطیسی ،کاربرد در صنایع الکترونیک مورد بررسی قرار داده ایم، طرز تشکیل نانو ریبون ها ونانو لوله های کربنی راشرح داده ایم در گرافن حامل های بار به جای معادله شرودینگر از معادلات ذرات نسبیتی بدون جرم تبعیت می کنند به این ذرات فرمیونهای بدون جرم دیراک گفته می شودکه جرم سکون خود را از دست داده اند به خاطر رابطه پاشندگی خطی در گرافن سرعت فرمی الکترونهای کم انرژی مستقل از انرژی بوده در نتیجه گرافن نیمه رسانای بدون گاف انرژی است که ساختار نواری آن در منطقه بریلوئن مخروطی شکل است ونوارهای رسانش وظرفیت فقط در نقاطی به نام نقطه دیراک همدیگر را قطع می کنند.در ادامه اثر کلاسیکی هال را بیان کرده و اثر هال کوانتومی را در گاز الکترونی دو بعدی مورد بررسی قرار داده ایم . سپس یک صفحه گرافنی را تحت تاثیر میدان مغناطیسی در دمای صفر ودر دمای محدود بررسی کرده وترازهای انرژی را به دست آوردهایم سپس با معرفی هامیلتونی وبدست آوردن ویژه مقادیروتوابع موج متناظر با آن مقدار چشمداشتی عملگر سرعت را به دست آورده ایم سپس نشان داده ایم رسانایی ویژه هال به دو ثابت بنیادی یعنی به الکترونها وثابت پلانک وابسته اند ودر مقایسه با گاز الکترون دو بعدی، دو حالت غیر عادی در گرافن مشاهده کردیم، یکی اینکه سکوهای کوانتومی به صورت نیمه صحیح می باشند ودیگر آنکه اثر کوانتومی هال برخلاف سایر نیمه رساناهای دوبعدی در دمای اتاق هم ایجاد می گردد. کلیدواژه: اثرهال، گرافن، ترازهای لاندائو، گازالکترون دوبعدی، اثرهال کوانتومی، فرمیون های دیراک بدون جرم.. فصل اول خواص عمومی گرافن 1-1 مقدمه یکی از پر هیاهوترین ، مهمترین و جالبترین عناصر در جدول تناوبی کربن است که ساختارهای هندسی مختلفی را به خود می گیرد. کربن نقش یگانه ای در طبیعت بازی می کنند. شکل گیری کربن در ستاره ها نتیجه یکی شدن سه ذره آلفا، پدیده ای است که باعث به وجود آمدن تمام عناصر نسبتاً سنگین در عالم می شود توانایی اتم های کربن در تشکیل شبکه های پیچیده (حداقل در شکل های شناخته شده اش)، اساس شیمی آلی و مبنایی برای وجود حیات در عالم است، حتی کربن به صورت یک عنصر رفتارهای غیر معمول و پیچیده ای در تشکیل ساختارهای گوناگون از خود نشان می دهد . ترکیبات آن روزگاری تنها به الماس و گرافیت، که یکی گران قیمت و زینتی و دیگری ارزان ودر دسترس همه مردم بود، خلاصه می شد. اما با کشف فورلین در سال 1985 نوع دیگری از مواد کربنی به وجود آمد که به نوع سوم کربن مشهور شد [1]. سپس در سال 1991 نانو لوله های کربنی کشف شدند که هم از نظر نظری و هم از نظر عملی جالب تر از فولرین ها بودند [2]. این نانو لوله ها از لوله کردن ورقه هایی از اتم های کربن بدست می آیند که یک میلیون بار نازکتر از ضخامت یک ورقه کاغذ بوده و به آنها گرافن گفته می شود. گرافن نازک ترین ماده موجود در جهان است که ضخامت آن در حدود یک اتم یعنی تقریبا یک انگستروم است. در شکل(1-1) چند نوع از آلوتروپهای کربن نشان داده شده است. شکل1-1 گرافن در شکل سمت چپ بالا ، گرافیت در شکل سمت راست بالا نشان داده شدهاند. نانو لولههای کربنی در شکل سمت چپ پایین و در شکل سمت راست پایین یک C60 که از خانواده فولرینهاست نشان داده شدهاند]15[. با این که سه نوع از آلوتروپ های کربن در سه بعدی (الماس و گرافیت)، یک بعدی (نانولوله ها) و صفر بعدی (فلورین) شناخته شده بودند، مشاهدات تجربی برای شکل گم شده دو بعدی آن را اخیرا به نتیجه نرسیده بود. تا بیست سال پس از کشف نانو لوله ها و فولرین ها وجود چنین گرافن را به طور آزاد در طبیعت نا ممکن می پنداشتند. عقیده بر این بود که به خاطر اثرات گرمایی این مواد مچاله شده، تغییر شکل می دهند و دارای هندسه سه بعدی می شوند. خیلی اوقات افراد زیادی کوشش می کردند که بلور اتمی دو بعدی را بسازند و معمولاً در آخر کار، بلورهای مقیاس نانومتری به دست می آمد، و کارهایشان بی نتیجه می ماند این مشکلات چندان هم تعجب برانگیز نبودند، چون تئوری، امکان وجود بلورهای واقعا دو بعدی را صریحا رد می کند (بر خلاف وجود سیستم های متعدد شبه دو بعدی). به علاوه در مراحل ساخت گرافن سطوح خیلی بزرگ به آلوتروپ های دیگر تبدیل می شوند [3]. اگر چه در سال 1947 فیلیپ والاس درباره گرافن مطالبی را بیان کرد و در آن زمان تلاش زیادی برای ساخت آن صورت گرفت، اما قضیه ای به نام مرمین-واگنر[1] در مکانیک آماری و نظریه میدان های کوانتومی وجود داشت که ساخت یک ماده دو بعدی را غیر ممکن و چنین ماده ای را نا پایدار می دانست و طبق قضیه مرمین-واگنر1 هیچ ساختار دو بعدی منظم و پایداری با ابعاد بزرگ را نمی توان تولید کرد [12]. شکل1-2 : مادر تمام فرم های گرافیت. در سال 2004 همه چیز به سرعت تغییر کرد و 44 سال پس از پیدایش گرافیت گروهی از دانشمندان دانشگاه منچستر با کشیدن گرافیت روی یک لایه از دی اکسید سیلیسیم گرافن، بدست آوردند. آن ها از گرافیت سه بعدی شروع کردند و ورقه ای تک لایه (یک لایه اتمی) را با روشی که شکاف میکرومکانیکی نامیده می شود، استخراج کردند. (شکل 1-2) و نشان دادند که قضیه مرمین-واگنرنمیتواند کاملاً درست باشد. جایزه نوبل فیزیک در سال ۲۰۱۰ نیز به خاطر ساخت این مادهای دوبعدی به دو دانشمند دانشگاه منچستر به نام کری جیم و نوسلو[2] تعلق گرفت. گرافیت، ماده ای لایه لایه از تک لایه های گرافن است که روی هم با نیروی ضعیفی قرار گرفته اند، همین اتصال ضعیف را تیم منچستر دست مایه کار خود قرار دادند. با استفاده از روش بالا به پایین و شروع از بلورهای سه بعدی بزرگ محققان از روش های دیگری که بلورهای کوچک را می ساختند چشم پوشی کردند. علاوه بر این، این گروه روش مشابهی را برای ساختن بلور های دو بعدی دیگر مانند بورن– نیترید، و برخی[3] ابررساناهای دمای بالا[4] ، استفاده کردند. این یافته ها پیام مهمی دارند: « بلورهای دو بعدی وجود دارند و تحت شرایط ویژه ای پایدارند» . شگفت آور است که این رویکرد نه چندان پیچیده به آسانی قادر به تولید بلورهای گرافنی بزرگ (بیشتر از صد میکرومتر) و البته با کیفیت بالای بلور گرافنی است و بلافاصله هدف فعالیت های تجربی بسیار زیادی قرار گرفت. یک صفحه اتم تنها یک کریستال دو بعدی است و برای این که به عنوان یک فیلم نازک ماده سه بعدی در نظر گرفته شود باید صد تا از آن ها وجود داشته باشد. حال سوال این است که چه تعداد لایه نیاز است تا به عنوان یک ماده سه بعدی تلقی شود؟ در مورد گرافن نزدیک ده تا می تواند یک گرافیت سه بعدی را تشکیل دهد. 13398508445500 شکل1-3: تصویر میکروسکوپیکی نیروی اتمی (AFM) ازیك بلور گرافن بر روی یک زیر لایه سیلیکون اکسید شده، به علاوه کیفیت نمونه های تولید شده به قدری بالا بود که در آن ها ترابرد بالستیکی و اثر کوانتومی هال (QHE)[5] به سادگی قابل مشاهده بود. چنین خصوصیاتی این ماده را به عنوان نامزدی برای کاربرد در کارهای آتی در الکترونیک مطرح می کند مثل ساخت ترانزیستورهای بالستیک[6] بدون اتلاف. هرچند که تحقیقات بسیاری برای تولید این مواد به منظور کاربرد صنعتی مورد نیاز است. از جمله روش های پیشنهادی برای نامزدهای آتی الکترونیک، می توان به ترکیبات گرافیت با بخار سیلیسیوم ناشی از زیر صفحه سیلیکون اشاره کرد. این کار در تیمی در مؤسسه صنعتی جورجیا[7] انجام گرفته است. دکتر دان لی، استاد دانشکده مهندسی مواد دانشگاه موناش به همراه همکارانش روی گرافن کار کرده اند؛ این ماده میتواند مبنایی برای تولید نسل بعدی سامانه های بسیار سریع ذخیره انرژی باشد.وی میگوید: «اگر بتوانیم این ماده را به درستی دستکاری کنیم، به طور مثال آیفون شما میتواند در عرض چند ثانیه و یا حتی کمتر شارژ شود». سوال: آیا قضیه مرمین-واگنر تولید گرافن خالص را نقص می کند؟ در حقیقت، اینکه بلور اتمی دو بعدی وجود دارد و تحت شرایط خاصی می تواند پایدار باشد به خودی خود شگفت انگیز است. به موجب قضیه مرمین-واگنر، نظم بلند برد در سیستم دو بعدی نباید وجود داشته باشد. پس جابجایی ساختاری در سیستم بلوری دو بعدی در هر دمای محدودی ظاهر خواهد شد. توصیف استاندارد از نوسانات اتمی، بیان می کند که دامنه نوسانات اتمی u حول جایگاه تعادلشان، خیلی کوچک تر از فواصل بین اتمی ،d ، است. در غیر این صورت بلور بر طبق معیار تجربی لیندمن ذوب می شود (در نقطه ذوب u=0.1d). به عنوان یک نتیجه از این دامنه کوچک نوسانات، تصویر گاز ایده آل فنون ها به خوبی ترمودینامیک جامدات را توصیف می کند. فونون ها کوانتوم های امواج جابجایی اتمی هستند (تقریب هارمونیک). در سیستم های سه بعدی، این ایده به نوعی خود سازگار است. این گونه که نوسانات اتمی محاسبه شده در تقریب هارمونیک، حداقل در دماهای به قدر کافی پایین کوچک است ولی در مسأله ی بلور دو بعدی تعداد فونون های با طول موج بلند در دماهای پایین واگرا می شود و بنابراین دامنه های فواصل بین اتمی محاسبه شده در تقریب هارمونیک واگرا می شوند. با توجه به دلایل مشابهی پوسته انعطاف پذیر واقع در فضای سه بعدی مچاله می شود. ، این به دلیل افت و خیزهای خطرناک خمشی با طول موج بلند است بیست سال پیش، نظریه پردازان نشان دادند که این افت وخیزهای خطرناک می تواند با یک اندرکنش غیر هارمونیکی (غیر خطی) بین انرژی خمیدگی و کششی از بین بروند. در نتیجه پوسته های بلورین دو بعدی می توانند وجود داشته باشند اما با یک سطح موج دار این به خودی خود باعث نوسانات یا زبری سطح دو بعدی می شود که به طور نوعی با اندازه سطح رابطه دارد. این امواج در گرافن مشاهده شده اند و در خواص الکترونیکی نقش مهمی بازی می کنند[5]. این بررسی ها تازه شروع شده و هنوز جنبه های مختلف فونون های مختلف دو بعدی کم درک شده است. (کارهای کمی روی رامان– اسپکتروسکوپی سطح گرافن وجود دارد). 1-2 ساختار گرافن برای دستیابی به نظریه ای كه از طریق آن، خواص الكترونی یك سیستم قابل توصیف باشد ابتدا شناخت خواص كلی سیستم امری ضروری است. یعنی باید دریابیم، قرار گرفتن اتم ها در هندسه خاص سیستم موجب چه تاثیری بر فیزیك حامل های بار الكترون یا حفره خواهد داشت و در واقع چه هامیلتونی مؤثری توصیف گر این حامل ها خواهد بود[7]. دراینجا ابتدا نوع پیوندها را در گرافن بررسی وسپس با استفاده از قضیه بلوخ وتقریب تنگ بست[8] ساده ترین هامیلتونی ممكن را برای الكترون های آزاد در پیوند π كربن ها در شبكه
لانه زنبوری به دست می آوریم. اولین نكته قابل توجه در تك لایه اتمی گرافن از اینجا آغاز می شود كه اگر چه هیچ نسبیتی درباره الکترون هایی که اطراف اتم های کربن حرکت می کنند وجود ندارد، برهمکنش آن ها با پتانسیل پریودیک [9]شبکه لانه زنبوری گرافن ما را به سمت شبه ذراتی که در انرژی پایین E که به وسیله معادله دیراک بدون جرم که با سرعت مؤثر نور توصیف می شوند سوق می دهد. این شبه ذرات، فرمیون های دیراک بدون جرم نامیده می شوند و می توانند به عنوان الکترون هایی که جرم سکون خود را از دست داده اند () یا به عنوان نوترون هایی که بار الکترون (e) را کسب می کنند در نظر گرفت. این حامل ها كه دارای تقارن كامل الكترون-حفره هم هستند، برخوردار از یك فضای هیلبرتSU(2) ای مجزا از فضای اسپینی خود هستند كه به آن فضای شبه اسپین 2گفته می شود كه ناشی از دو اتمی بودن واحد شبكه براوه در چنین شبكه ای است. این نوع فضای هیلبرت منجر به فاز هندسی خاصی می شود كه اثر آن در خواص ترابردی به وضوح مشهود است. سپس به معرفی خواص الكترونی مشاهده شده در گرافن، از جمله اثر كوانتومی غیر عادی هال در گرافن خواهیم پرداخت. 1-3 پیوند ها در گرافن همان طور که گفته شد گرافن دارای آرایش منظم لانه زنبوری از اتم های کربن است، با در نظر گرفتن یک اتم کربن به عنوان سلول واحد نمی توان با دو بردار مستقل خطی کل شبکه را از این واحد تک اتمی ساخت. یعنی اینکه ساختار گرافن یک شبکه براوه نیست. برای رفع این مشکل بردار واحد شبکه را که از دو اتم مجاور ساخته شده است در نظر می گیرند. طبق نظریه حالت جامد برای چنین سیستم هایی نیاز به معرفی پایه های تنگ بست داریم و انتخاب آن پایه ها نیز یکتا نیست. در این صورت با تکرار چنین واحد هایی در دو راستای مستقل خطی که بردارهای شبکه آن را مشخص می کند کل شبکه لانه زنبوری گرافن ایجاد می شود.شبکه این واحدهای دو اتمی یک شبکه براوه مثلثی است. چنین ساختارهایی که در آن بردار واحد شبکه دو اتمی باشد، و به عبارتی سیستم متشکل از دو زیر شبکه باشد هر کدام با یک واحد تک اتمی، یک شبکه براوه است و با یک انتقال نسبت به هم ساخته می شوند شبکه دو قسمتی[10] گفته می شود. اگر یک اتم متعلق به زیر شبکه A باشد، سه اتم دیگر که نزدیکترین همسایه های آن محسوب می شوند متعلق به زیر شبکهB می با شند ] 16 [. 14058908572500 شکل1-4 (a) شبکه لانه زنبوری گرافن (b) شبکه وارون همانطور که در شکل بالا نشان داده شده شبکه گرافن توسط دو بردار پایه زیر توصیف می شود: =+ + بردارهای و بردارهای پایه شبکه هستند و بردارهای iوj یک زوج پایه متعامد برای این صفحه تشکیل می دهند. فاصله بین دو اتم کربن نزدیک ترین همسایه را نشان می دهد.می توان بردارهای پایه شبکه وارون را به صورت زیر نوشت: = فاصله بین دواتم کربن در گرافن برابر42/1آنگستروم می باشد و با استفاده از این مقدار سایر بردارهای شبکه گرافن به راحتی بدست میآید]18 [. 1-4 ذخیره انرژی کاربرد گرافن در بخش انرژی نیز قابل توجه است. تلاشها برای استفاده از این ماده جهت ساخت خازنهای پرقدرت با قابلیت ذخیره و انتقال جریان الکتریسیته آغاز شده است. هم اکنون نیز بعضی از شرکت هاییکه در ساخت محصولات الکترونیکی ویژه از نانولوله های کربنی استفاده میکنند، در حال روی آوردن به گرافن هستند. نمونه ای از این محصولات الکترونیکی ویژه، لباسهایی هستند که می توان آنها را پوشید و در صورت نیاز تجهیزات الکتریکی را با آنها شارژ کرد. همچنین از ترکیب گرافن و آب برای ذخیره انرژی استفاده می کنند. آب، سبب خیس نگهداشتن گرافن (به شکل ژل) می شود ویک نیروی دافعه میان ورقه های منفرد ایجاد کرده و با جلوگیری از اتصال دوباره این ورقه ها به یکدیگر، امکان استفاده از این ماده را در کاربردهای واقعی ایجاد میکند. کارایی ژل گرافنی در ابزارهای ذخیره انرژی هم از نظر میزان بار قابل ذخیره سازی و هم از نظر زمان رهایش این بار بسیار بهتر از فناوری دیگرِ مبتنی بر کربن بود. 1-5 مشکلات گرافن گرافن ماده ای است که از ورقه های مسطح کربن ساخته می شود و آرایش آن مثل لانه ی زنبور می باشد. در این ماده الکترونها می توانند به صورت مجازی 100 برابر سریعتر از الکترونهای حاضر در سیلیکون حرکت کنند به همین علت به طور بالقوه گرافن می تواند کاربردهای زیادی در صنایع الکترونیک داشته باشد. این ماده در حال حاضر اصلی ترین رقیب سیلیکون به شمار می رود. برخلاف سیلیکون، گرافن فاقد باند گاف الکترونیکی است. باند گاف به محدوده انرژی گفته می شود که توسط الکترونها اشغال نشده و برای کاربردهای الکترونیکی حائز اهمیت است. ایجاد یک باندگاف در محدوده انرژی الکترونی گرافن یک پیش نیاز ضروری برای به کارگیری گرافن در ترانزیستورها است. به رغم موج فعلی پیشرفت، سرمایه گذاری و توجه رسانه ای، خیلی از پژوهشگران چنین اطمینانی به گرافن ندارند. برخی از آنها مطمئن هستند که گرافن همه خواصی را که از آن انتظار می رود، در خود ندارد.این ماده به خودی خود، گاف انرژی را که یک ویژگی حیاتی برای کاربردهای الکترونیکی است، ندارد. (به این معنی که گرافن نمی تواند رسانایی الکتریکی را متوقف کند و «خاموش شود») بنابراین چون گرافن فاقد باند گپ است نمی توان از آن به عنوان سوئیچ که برای کاربردهای الکترونیکی لازم است، استفاده کرد. درحالی که در سیلیکون کلید روشن و خاموش (رسانش و عدم رسانش در جهات مختلف) بسیار دقیق عمل می کند، یعنی مقدار رسانش آن در حالت روشن، نسبت به خاموش آن بالاست. برای استفاده از گرافن در ترانزیستورها، باید یک شکاف انرژی در طیف انرژی الکترونی آن ایجاد کرد. در اینجا مهندسان وارد عمل می شوند. محققان دریافته اند که فشارهای محلی در ورقه گرافن میتواند خواص هدایت آن را تغییر دهد. با تغییر فشار محلی، شکاف انتقال می تواند ایجاد شود. در فیزیک حالت جامد، تئوری باند (گاف انرژی) راهی برای نشان دادن انرژی الکترونها در یک ماده ای داده شده است. در نیمه هادیها فضاهای بدون الکترون بین باندها (رسانش و ظرفیت)وجود دارند که به آنها باند گپ میگویند. اگر آن گپ خیلی بزرگ یا خیلی کوچک نباشد، برخی از الکترونها می توانند به داخل گپ بپرند و این موضوع درجه ی بالاتری از کنترل الکترون در رابطه با رفتار الکتریکی آن ماده را مهیا خواهد کرد که درنتیجه، خاموش و روشن کردن ترانزیستور آسانتر می شود. روشهایی برای ایجاد باند گپ ارائه شده است اما هر یک مشکلاتی داشته اند. همان طورکه گفتیم محققان روشی ارائه کرده اند که در عین ساده بودن قادر است شکاف هایی قابل تنظیم در ساختار گرافن ایجاد کند. این ماده به خودی خود، (گاف انرژی) را که یک ویژگی حیاتی برای کاربردهای الکترونیکی است، ندارد. برای این منظور محققان وارد عمل شدند. آنها دریافتند که فشارهای منطقه ای در گرافن میتواند خواص هدایت را در این ماده تغییر دهد. با تغییر این فشارها، باند گپ گرافن دست خوش تغییر میگردد. مهندسی فشار، یکی از راهبردهای رایج در صنعت نیمه هادیها است. در حال حاضر راههای متعددی برای ایجاد یک فشار قابل کنترل به گرافن شناخته شده است. برخی از این راهها عبارتند از مورفولوژیهای فشار مانند چروکها در گرافن تمیز معلق در یک محلول، بالونهای گرافنی روی بستر الگودار و سوپر شبکه های فشاری گرافنی روی بستر شبکه ای نامنطبق.
-----------
نکته مهم : هنگام انتقال متون از فایل ورد به داخل سایت بعضی از فرمول ها و اشکال درج نمی شود یا به هم ریخته می شود یا به صورت کد نمایش داده می شود ولی در سایت می توانید فایل اصلی را با فرمت ورد به صورت کاملا خوانا خریداری کنید: سایت مرجع پایان نامه ها (خرید و دانلود با امکان دانلود رایگان نمونه ها) : elmyar.net **************** مشکل دیگردانشمندان این است که این خواص «جادویی» تنها در مقیاس خیلی کوچک دیده شده اند. در نتیجه به رغم اینکه گرافن در مقیاس کوچک خیلی محکمتر از فولاد تقویت شده است، باید در مورد ادعاهایمان محتاط باشیم. باید محدودیتهای گرافن را درک کنیم. و در تلاش باشیم تا کاربردهای خاصی رابیابیم تا بتوانیم از آن خواص استفاده کنیم. نمودار1-5 نمودار گاف انرژی وجرم مؤثرالکترون برحسب پهنای نانو نوار گرافنی 1-6 خصوصیات گرافن با در نظر گرفتن توجه دانشمندان به گرافن و امید به کاربردهای مختلف آن در آینده ی نزدیک، تلاش های تحقیقاتی زیادی به درک ساختار و خواص گرافن اختصاص داده شده است. به طور کلی انتظار می رود که گرافن تنها از یک لایه تشکیل شده باشد، اما علاقه قابل توجهی برای تحقیق در مورد گرافن دو لایه و کم لایه نیز وجود دارد. گرافن های دو لایه و کم لایه به ترتیب شامل 2 و 3 تا 10 لایه از این ورقه های دو بعدی می باشند. ساختار گرافن شامل بیش از 10 عدد از این ورقه های دوبعدی به عنوان گرافن ضخیم در نظر گرفته شده و کمتر مورد علاقه دانشمندان می باشد [12]. گرافن وضعیت خود را از یک ماده ی ناشناخته به یک ستاره پر فروغ در زمینه های مختلف علم و فن آوری تغییر داده است. این بدلیل خصوصیات استثنایی گرافن شامل چگالی بالای جریان، حمل و نقل بالستیک، بی اثر بودن شیمیایی، هدایت حرارتی بالا، عبور نوری و آبگریزی فوق العاده در مقیاس نانومترمی باشد [12،13]. همانطور که قبلا گفته شد گرافن تک لایه به عنوان یک ورقه ی دو بعدی از اتمهای کربن که به صورت شبکه ای شش ضلعی کنار هم قرار گرفته اند تعریف شده است .گرافن دارای هیبرید sp2 می باشد و اتم های کربن سه پیوند قوی کووالانسی (σ) در صفحه تشکیل می دهد که ساختار شش ضلعی را تشکیل می دهند و همچنین دارای یک اوربیتال عمود بر صفحه می باشند که تشکیل پیوندهای π خارج از صفحه را می دهند. این پیوند ها می توانند برهمکنش بین لایه های مختلف گرافن را در گرافن چندلایه کنترل کنند[26]. گرافن طبیعی یک شبه فلز یا یک نیمه رسانا با گاف نواری صفر است و همچنین دارای تحرک پذیری الکترونی بسیار بالا در دمای اتاق می باشد. خواص نوری منحصر به فرد گرافن، موجب بروز یک شفافیت بالای غیر منتظره برای یک تک لایه ی اتمی شده است. یک تک لایه ی گرافن 2.3٪ ≈ πα از نور سفید فرودی بر روی خود را جذب می کند که در آن α ثابت ساختار ریز شبکه می باشد [22]. گرافن تک لایه همچنین به عنوان یکی از قویترین مواد در نظر گرفته می شود. با در نظر گرفتن این خواص جالب جدید گرافن انتظار می رود که مرزهای جدیدی در زمینه ی کاربردهای گرافن باز شود[12]. گرافن دو لایه به عنوان نیمه رسانای بدون گاف در نظر گرفته شده است. گرافن تک لایه و دو لایه شفافیت بسیار بالا برای امواج نور در محدوده ی ماوراء بنفش تا مادون قرمز از خود نشان می دهند، و می توانند در ساخت الکترود های شفاف در سلول های خورشیدی کاربرد داشته باشند [30]. تجزیه و تحلیل ساختار باند (گاف انرژی) گرافن کم لایه، گافی را نشان نمی دهد. این ساختار به طور فزاینده ای با افزایش تعداد لایه ها فلزی می شود. چند لایه گرافن، مساحت سطح بسیار بالا، تقریبا قابل مقایسه با تک لایه گرافن را نشان می دهد [12]. چند لایه گرافن همچنین قابلیت خوبی برای عامل دار شدن با مواد مختلف به صورت کووالانسی و غیر کووالانسی از خود نشان می دهد که منجر به حل شدن آن در حلال های مختلف می شود . 1-6-1 - تعیین خصوصیات گرافن تکنیک های مختلفی می تواند برای تعیین خصوصیات گرافن و مشتقات آن به کار گرفته شوند. از جمله تکنیک های متداول مورد استفاده میکروسکوپ الکترونی عبوری (TEM)، پراش الکترونی (ED)، میکروسکوپ الکترونی عبوری با قدرت تفکیک بالا (HRTEM)، میکروسکوپ تونل زنی روبشی (STM)، میکروسکوپ نیروی اتمی (AFM)، میکروسکوپ الکترونی روبشی (SEM)، پراش اشعه X و (XRD)، طیف سنجی فوتوالکترون اشعه ایکس (XPS) و طیف سنجی رامان و تبدیل فوریه مادون قرمز (FT-IR) می باشند. به طور کلی، از این تکنیک ها می توان برای تعیین خصوصیاتی مانند مورفولوژی، تعداد لایه ها، کیفیت ساختارها، ساختار بلوری و خواص ذاتی مواد مبتنی بر گرافن استفاده کرد . 1-7 کاربردهای گرافن انواع مختلف گرافن شامل تک لایه، دو لایه و چند لایه، دارای کاربردهای بالقوه در زمینه های مختلف می باشند. همانطور که در بالا گفته شد گرافن سختترین و نازکترین ماده ای است که بشر تاکنون به آن دست یافته است. این ماده با وجود اینکه ساختار متراکمی دارد، به علت ضخامت بسیار اندکش که برابر با ضخامت یک اتم کربن است، نور را از خود عبور میدهد و از شفافیت بالایی برخوردار است؛ همچنین آسانی تهیه و رسانا بودن این ماده که حتی رساناتر از مس است و قابلیت آن در عبور دادن گرما و جریان الکتریسیته آنرا به گزینه ای جدید برای استفاده در صفحه های نوری و کامپیوترها تبدیل کردهاست. تحمل این ماده در برابر فشاری که موجب از هم گسیختگی شود 200 تا 300 برابر فولاد است و حتی سخت تر از الماس است. گرافن بسیار سبک و انعطاف پذیر است با این ویژگی ها بی جهت نیست که گرافن را یک ابر ماده می نامند و پیش بینی می شود که این ماده در آینده انقلابی را در صنعت الکترونیک پدید بیاورد. این ماده جایگزین سیلیکون در محصولات الکترونیکی محسوب می شود . گرافن دارای چندین ویژگی است که آنرا برای کاربرد های الکترونیک مطلوب میسازد. یکی از این خواص، قابلیت حرکت بسیار بالای حاملهای بار در آن است. الکترونها در گرافن نسبتا آزادانه حرکت می کنند. همچنین گرافن می تواند به یک تک مولکول گاز واکنش نشان بدهد و در نتیجه برای ساخت ماده ردیاب در حسگرها از جذابیت زیادی برخوردار است [30]. بنابراین گرافن می توانند کاربردهای مختلفی داشته باشد. برخی از کاربردهای گرافن میتواند موارد زیر باشد: • استفاده شدن به جای فیبرهای کربن در کامپوزیتها که نتیجتاً باعث ایجاد هواپیماها و ماهواره های سبکتر می گردد. • استفاده شدن به جای سیلیکونهای نیمه رسانا در ترانزیستورها بدلیل خواص رسانشی فوق العاده گرافن. در این ماده الکترونها می توانند 100 برابر سریعتر از الکترونهای حاضر در سیلیکون حرکت کنند به همین علت به طور بالقوه گرافن می تواند کاربردهای زیادی در صنایع الکترونیک داشته باشد. این ماده در حال حاضر اصلی ترین رقیب سیلیکون به شمار می رود. • جاسازی کردن گرافن در پلاستیک که میتواند پلاستیک مذکور را رسانا کند. • امکان بالابردن دوام باتریها با استفاده از غبار گرافنی. • ایجاد پلاستیکهایی سختتر، مستحکمتر و سبکتر. • کاربرد به عنوان پوشش شفاف رسانا برای سلولهای خورشیدی و نمایشگرها. مزیت اصلی گرافن در این است که میتواند نور و الکتریسیته را از خود عبور دهد. • ایجاد توربینهای بادی کارآمدتر. • ایجاد ایمپلنتهای مستحکمتر (پزشکی). • کاربرد در تجهیزات ورزشی. • ایجاد ابرخازنها. • کاربرد برای پیشرفت صفحات و نمایشگرهای لمسی و انعطاف پذیر. • کاربرد در نمایشگرهای کریستال مایع (LCD). • کاربرد در دیودهای گسیل نور (LED) و دیودهای ارگانیک گسیل نور (OLED). • ساخت جوهرهای رسانا برای پوشش. 1-8 نانو ریبون های گرافنی وقتی گرافن در امتداد یک جهت خاص ساخته شود یک نوار گرافنی که پهنای آن نانو متری[11] است بدست می آید و آن را نانو ریبون گرافنی می نامند. نانو ریبون های گرافنی خواص متفاوتی از خود نشان می دهند. پیش بینی شده که در آینده ساختاری مهم و بنیادی در قطعات نانو الکترونیکی با اساس کربنی باشند [17, 18]. محاسبات نظری بسیاری نشان می دهد که اثرات لبه و محدودیت های کوانتومی، نانو ریبون های گرافنی باریک با عرض کمتر از 10 نانومتر را به نیمه رسانا تبدیل می کند. پس نانو ریبون های گرافنی با عرض های باریک می توانند به عنوان ترانزیستور های اثر میدان در دمای اتاق، با سرعت سوئیچینگ عالی و تحرک پذیری بالا به کار روند. هنوز چالش های بزرگی در تولید نانو ریبون های گرافنی باریک در مقیاس زیاد وجود دارد. چون این نانو ریبون ها به شدت لوله ای می شوند و به نانو تیوب تبدیل می گردند گروه های بسیاری سعی در ساخت و سنتز این نانو ریبون ها کرده اند. لی و همکارنش نانو ریبون های گرافنی را با پهنای کمتر از 10 نانو متر با استفاده از روش های شیمیایی ساخته اند و دریافتند که تمام نانو ریبون های گرافنی با پهنای کمتر از 10 نانومتر نیمه رسانا هستند و ترانزیستور های اثر میدان گرافنی با نسبت های خاموش-روشن در حدود 107 نانومتر در دمای اتاق تهیه و تولید کردند . اما کار آنها مطلوب نبود چرا که پهنای تولید شده بسیار زیاد بود. استفاده از روش های لیتو گرافیک برای تولید ریبون های پهن با پهنائی بیشتر از 20 نانو متر به کار گرفته شده است، اما پهنا و همواری نانو ریبون های گرافنی به وسیله قابلیت تکنیک های لیتو گرافی و خورندگی محدود می شود [22, 21]. با جدا کردن نانو تیوب های کربنی چند دیواره از طریق خورندگی پلاسمایی نانو تیوب هائی که به طور جزئی در یک فیلم جاسازی شده بودند، ساخت نانو ریبون گرافنی با پهنای در حدود 10 تا 20 نانومتر انجام شد [24]. اما توانایی تولید انبوه از طریق این روش محدود است. گروهی دیگر به نام کانی کین و همکارانش با استفاده از روش های شیمیایی سعی کردند از لوله ای شدن نانو تیوب های کربنی چند دیواره ممانعت کنند . اما ریبون های حاصل پهن تر بودند(100 تا 500 نانو متر) و نیمه رسانا نبودند ولی ساخت آنها در مقادیر زیاد آسان تر بود. همچنین نانو ریبون های گرافنی چند لایه با پهنائی در حدود 100 نانومتر به وسیله تزریق لیتیوم و ورقه ای کردن نانو تیوب های کربنی ساخته شدند [29]. دو شکل اساسی برای نانو ریبون های گرافنی وجود دارد: 1-آرم چیر(دسته صندلی) 2-زیگزاگ در این باره و طرز ساخت آن ها در بخش های بعدی بیشتر توضیح خواهیم داد. 1-8-1 چگونگی تشکیل نانو ریبون های گرافنی و نانو تیوب هادر صفحه مختصات گرافنی در این مختصات دو بردار یکهi وj را تعریف می کنیم که زاویه بین آنها 60 درجه است که در شکل1-7 نشان داده شده است. برای حرکت روی این صفحه می توانیم بردار را تعریف کنیم که این بردار به بردار کایرال معروف است. زاویه بین بردار کایرال و محور متناظر با بردار یکهi را به عنوان زاویه کایرال معرفی می کنند. همانطور که خواهیم دید این زاویه یکی از مشخصه های نانو لوله های کربنی است. بدلیل تقارن موجود در صفحه های مختصات گرافنی، ما همواره mوn را مثبت در نظر می گیریم و این اشکالی ایجاد نمی کند. اگر با شرط0 mn یک بردار کایرال را در نظر بگیریم بردار انتخاب شده از راستای بردار یکه i می تواند از صفر تا سی درجه فاصله بگیرد. شکل1-5. صفحه مختصات گرافنی شکل 1-6 در ناحیه هاشور خورده از صفحه ی مختصات گرافنی، شرط m≥n>0 برقرار است 1-8-2 طرز تشکیل نانو ریبون های گرافنی بردار کایرال را در نظر می گیریم با توجه به تقارن شبکه شش گوشی و زاویه کایرال که حوزه تغییرات آن که از صفر تا سی درجه است می توانیم نانو ریبون های گرافنی را بسازیم. در بردار کایرال اگر n=0 باشد با توجه به شکل ما یک نانو ریبون گرافنی زیگزاگی داریم (شکل1-8-a ) و اگر m=n باشد نانو ریبون ما آرمچیر است (شکل1-8-b). اگر n ≠ m باشد آن را دسته بردار های نامتقارن گفته و آن ها را نانو ریبون های کایرال می نامند. شکل 1-7 ساختار ورقه ای گرافن شکل1-8 (a) یک نانو ریبون گرافنی زیگزاگی. (b) یک نانو ریبون گرافنی آرمچیر. درجهت خطوط خط چین سیستم ها دورهای هستند 1-8-3 طرز تشکیل نانوتیوب ها ساختار اتمی نانو تیوب ها در حقیقت با انتخاب یک ورقه ساخته شده از گرافن و سپس پیچیدن یا لوله کردن آن به فرم یک استوانه بدست می آید. البته این گفته برای درک ساختار نانو لوله هاست ودر عمل نانو لوله ها را با روش های پیچیده شیمیایی می سازند. دو انتهای این استوانه باز است و بدون تغییر شکل قابل ملاحظه شش گوشی ها و پیوند های sp2 نمی تواند بسته شود. بستن نانو تیوب ها نیاز به وارد کردن عیوب توپولوژیک به شبکه شش گوشی دارد که بدین وسیله صفحه مزبور انحناء پیدا می کند. مثلا در مورد فولرین ها ایجاد انحناء در ساختار نانو تیوب ها با وارد کردن پنج ضلعی ها امکان پذیر است. در صفحه مختصات گرافنی نانو ریبون های ساخته شده را طوری لوله می کنیم که نقاط0,0) ) و (m,n) که نقاط ابتدا و انتهای نانو ریبون ها هستند روی یکدیگر قرار گیرند و بسته به نوع نانو ریبون به کار رفته سه نانو تیوب آرمچیر، زیگزاگ و کایرال داریم. سپس بر اساس آنچه گفتیم، بردار کایرال شکل ظاهری نانو لوله های کربنی را تعیین می کند و از آنجائی که خواص نانو لوله های کربنی تابع شکل ساختاری آنهاست، بردار های کایرال نه تنها در تعیین شکل ساختاری نانو لوله ها، بلکه در تعیین خواص آنها نیز اهمیت دارد. شکل 1-9 سه نوع نانوتیوب a) آرمچیر=30 درجه b ) زیگزاگ=0 درجه (c کایرال 0 or 30 1-9 ادوات گرافنی: خصوصیات غیر عادی این ماده جدید نوید بخش کابردهای الکترونی آتی آن است. تحریک پذیری که به راحتـی در تکنولوژی گرافنی قابل حصـول اسـت که حـدود 20000 می باشد که یک مرتبه بزرگی از جدیدترین ترانزیستورهای Si قبلی بیشتر است و به راحتی بیشتر هم خواهد شد. البته به شرط آنکه کیفیت نمونه های گرافن بالا برود. این امر باعث ایجاد ترابری بالا در فواصل کمتر از میکرون است و گامی عالی برای مهندسان الکترونیک محسوب می گردد. احتمالاً بهترین کاندید FET[12] های گرافنی ادواتی خواهند بود که مبنای نقطه کوانتومی داشته باشند و یا اینکه از دو لایه گرافنی برای پیوندگاه p-n استفاده شود. راستای حرکت برای توسعه این صنعت ابزارهایی مبتنی بر مقادیر اسپین است. به خاطر جفت شدگی ضعیف اسپین مدار قطبندگی اسپینی گرافن بیشتر از فواصل زیر میکرونی نیز وجود خواهد داشت. این منجر شد که اخیرا بتوان اثرات تزریق اسپینی سوپاپ اسپینی را روی ماده دید. همین طور دیده شد که ابررسانایی را می توان به طریق تاثیر همسایگی روی گرافن القا کرد (شكل 1-9). همچنین مقدار این ابر جریان قابل تنظیم بوده و می تواند به واسطه اعمال یک گیت خارجی در جهت خلق یک FET ابررسانا استفاده شود [26] .در حالی که این کاربردهای اشاره شده در آینده مورد توجه هستند. در برخی زمینه ها هم گرافن می تواند سریع مورد استفاده واقع شود. سنسورهای گازی یکی از اینهاست. گروه منچستر نشان داد که گرافن می تواند ملکول های گازی محیط اطراف را جذب کرده که منجر به تغلیظ لایه گرافن به واسطه الکترون ها و حفره ها شود که این امر به طبیعت گاز جذب شده وابسته است. با نگاه به تغییر مقاومت می توان غلظت لحظه ای گازی مشخص در اطراف گرافن را فهمید [3]. center21399500 شكل 1-10 : تصویر AFM از یك لایه گرافن كه دو الكترود ابررسانای آلومینیومی روی آن قرار گرفته است [22]. فصل دوم ساختار شبکه گرافن 2-1 تقریب تنگ بست و استخراج معادله دیراك برای سیستمی از اتم ها كه جایگاه آن ها به صورت شبكه ای منظم دارای تقارن انتقالی ناپیوسته است، مطابق قضیه بلوخ، می توان توابع موج الكترون ها را بر حسب توابع موج جایگزیده روی هر یك از اتم ها به دست آورد [9] .برای شبكه های متعارفی كه هر واحد تكرار شونده تنها دارای یك اتم است، این كار بسیار ساده می باشد و به راحتی طیف انرژی سیستم بر حسب بردار موج شبكه به دست می آید. برای نشان دادن این سادگی، ابتدا شبكه دو بعدی مربعی را در نظر می گیریم كه در آن واحد سیستم متشكل از تنها یك اتم است، توسط دو بردار متعامد كل شبكه را می سازد. بنابر قضیه بلوخ، در این حالت تابع موج الكترونی عبارت است از : 190514605000 (2-1) كه در آن و بردارهای شبكه و k بردار موج مربط به یك حالت مجاز از فضای وارون است كه در شرط زیر صدق می كند : 190522098000374713511874500 (2-2) كه در آن ها وارون بردارهای شبكه اصلی () هستند. هامیلتونی سیستم در پایه این حالت های بلوخ به صورت زیر خواهد بود 685806413500(2-3) حال با جایگذاری عبارت مربوط به تابع موج بلوخ در معادله (2-3) و انجام محاسبات ساده انتگرالی خواهیم داشت : (2-4) كه در آن جمع روی i ، مربوط به بردارهای همسایه نزدیك ها و جمع روی j ، مربوط به بردارهای همسایه دوم یعنی ها می باشد. مقادیر و ها كه به میزان همپوشانی اوربیتال های اتم ها در سایت ها با یكدیگر وابسته است، (معمولا ) از انتگرال های زیر به دست می آیند : (2-5) (2-6) حال با تعریف عملگرهای خلق و فنای الكترونی، سهم تنگ بست هامیلتونی بر حسب عملگرهای خلق و فنای الكترون در این پایه (كوانتش دوم در پایه بلوخ) به صورت زیر نوشته می شود[10] : (2-7) كه در آن تابع انرژی تك الكترون برانگیخته عبارت است از : 927101333500 (2-8) در سیستم هایی كه هر اتم تنها یك الكترون برای رسانش به اشتراك می گذارند، چگالی الكترون های نوار رسانش به نحوی است كه سطح فرمی همواره در نزدیكی حالت نیمه پر باقی می ماند[5]. و در این حالت می توان تابع انرژی را حول حالت نیمه پر بسط داد. به این تقریب، تقریب جرم مؤثر نواری گفته می شود [10]. به این خاطر كه اولین جمله در بسط تابع انرژی به طور معمول متناسب با توان دوم بردار موج كریستالی است، آن را می توان به این صورت تفسیر كرد كه الكترون های برانگیخته آزاد می باشند و تنها جرم آنها به نحوی كه تقریب تنگ بست مقدار آن را مشخص می كند،تغییر كرده است . (2-9) اما گرافن آرایش منظم لانه زنبوری اتم های كربن می باشد، كه در این حالت، این آرایش با در نظر گرفتن یك اتم كربن به عنوان سلول واحد، دیگر یك شبكه براوه نیست.به این معنا كه نمی توان با دو بردار مستقل خطی كل شبكه را از این واحد تك اتمی ساخت.برای برون رفت از چنین مشكلی واحد شبكه كه متشكل از دو اتم مجاور است را در نظر می گیریم. در این صورت با چنین زیر شبكه مثلثی را مطابق شكل با اندیس A و B و با رنگ های آبی و زرد در شكل1-4 مشخص می كنیم. واحدی در دو راستای مستقل خطی كه بردارهای شبكه آن را مشخص می كند كل شبكه لانه زنبوری ایجاد می شود. شبكه این واحدهای دو اتمی یك شبكه براوه مثلثی است. به چنین ساختارهایی كه در آن واحد شبكه دو اتمی باشد و به عبارتی سیستم متشكل از دو زیر شبكه است كه هر كدام با یك واحد تك اتمی، یك شبكه براوه است و با یك انتقال نسبت به هم ساخته می شوند، شبكه Bipartite گفته می شود. (2-10) شكل های 2-1 و2-2 رفتار تابع انرژی را در ناحیه ای از شبكه وارون نشان می دهند. همان طور كه از این شكل ها پیداست، صفرهای این تابع انرژی خود یك شبكه لانه زنبوری تشكیل می دهند كه همان شبكه وارون است(شكل2-1). نقاط زیرشبكه های این شبكه وارون هر یك معادل با یكی از دو نقطه و هستند كه در شكل 1-5 مشخص شده و بر حسب ثابت شبكه a به صورت زیر داده می شوند: (2-11) تابع موج برای این سیستم به صورت زیر نوشته می شود : 13906529845000 (2-12) (2-13)1695455715000 66738510287000 شكل2-1:شبكه لانه زنبوری كه منجر به شبكه وارون لانه زنبوری می شود. حال اگر هامیلتونی سیستم را در این پایه بر حسب عملگرهای خلق و فنای الكترون در حالت های بلوخ زیر شبكه های A و B، یعنی به ترتیب (و) و (و) بنویسیم، خواهیم داشت: 832485-18161000 (2-14) كه تابع از محاسبات تنگ بست همسایه نزدیك بر حسب بردارهای و و مشخص شده در شكل 2-1 به دست می آید : -6356477000 (2-15) كه در آن همپوشانی اوربیتال اتم های B همسایه نزدیك است. برا ی به دست آوردن طیف انرژی سیستم باید هامیلتونی را قطری كنیم، در واقع ویژه مقادیر این هامیلتونی بر حسب بردار موج شبكه طیف انرژی را به دست می دهد : (2-16) بنابراین داریم: (2-17) علامت مثبت و منفی در رابطه بالا مربوط به باند بالا و پایین است. به راحتی می توان نشان داد كه طیف انرژی در نقطه k در ناحیه بریلوئن، (B.Z.[13] : یاخته اولیه شبكه معكوس)، با بردار موج صفر می شود (همین طور در پنج گوشه دیگر شش ضلعی). ناحیه بریلوئن شش ضلعی است و در دو گوشه نا برابر باند رسانش و ظرفیت به هم می رسند. با بسط انرژی حول این نقطه، رابطه پاشندگی الكترون ها می شود : 29019521653500 (2-18) كه ()، نسبت به نقطه K در منطقه بریلوئن
اندازه گیری می شود. رابطه 2-18، رابطه پاشندگی برای ذرات نسبیتی با سرعت نور است كه این ذرات فرمیون های دیراك نامیده می شوند. 1493520508000 شکل 2-2 انرژی تك ذره بر حسب بردار موج در قسمتی از فضای وارون، left115633500از آنجا كه درسیستم های مورد آزمایش معمولا انرژی فرمی به اندازه كافی كوچك است، می توان رابطه كلی برای هامیلتونی را حول دو نقطه و بسط داد. كار متداولی كه برای سیستم های متعارف با هامیلتونی غیر نسبیتی نیز قبلا انجام می دادیم (تقریب جرم مؤثر). با انجام چنین كاری و نگه داشتن اولین جمله در بسط تیلور مربوطه تابع داریم: (2-19) كه در آن ماتریس پاولی و در واقع همان بردار موج است. بنابراین هامیلتونی به صورت زیر به دست می آید : (2-20) (2-21) (2-22) واضح است كه هامیلتونی مؤثر ما در اینجا از دو قسمت مجزای مشابه منطبق بر مدل ذرات دیراكی بدون جرم تشكیل شده است. یكی برای بردارهای موج حول و دیگری برای بردارهای موج شبكه حول . می توان این هامیلتونی را در پایه حقیقی یعنی بر حسب عملگرهای میدان وابسته به مختصات حقیقی ۀنوشت : (2-23) که در آن مولفه های میدان اول و دوم مربوط به حامل های با تكانه كریستالی حول بردار موج و است و ماتریس پائولی جمله دوم، همیوغ هرمیتی ماتریس پائولی جمله اول است. در حالت طبیعی كه هیچ الكترون اضافی در سیستم وجود ندارد، تمامی حالت های نوار ظرفیت پر و تمامی حالت های نوار رسانش خالی است، بنابراین انرژی فرمی صفر می باشد و به نحو جالبی سطح فرمی موجود نیست و در این حالت تنها نقاط فرمی خواهیم داشت كه همان نقاط شبكه لانه زنبوری وارون هستند، در این حالت[14]، هر اتم كربن یك الكترون در پیوند به اشتراك می گذارد و با توجه به تبهگنی اسپینی تنها نیمی از حالت های ممكن پر خواهد بود. با توجه به شكل2-3 پیداست كه تقارن كاملی بین حالت های با انرژی مثبت و حالت های با انرژی منفی موجود است. 12338053873500 شكل2-3 : در حوالی نقاط و تابع انرژی دو مخروط متقارن را تشكیل می دهد كه با افزایش انرژی تقارن استوانه ای از بین می رود.
عضو شوید
عضویت سریع
آمار مطالب
آمار بازدید
